Matemática discreta Ejemplos

$67416 = 6000 {(1 + r)}^{2}$

Paso 1

Resta $6000 {(1 + r)}^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$67416 - 6000 {(1 + r)}^{2} = 0$

Paso 2

Simplifica $67416 - 6000 {(1 + r)}^{2}$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe ${(1 + r)}^{2}$ como $(1 + r) (1 + r)$ .

$67416 - 6000 ((1 + r) (1 + r)) = 0$

Paso 2.1.2

Expande $(1 + r) (1 + r)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$67416 - 6000 (1 (1 + r) + r (1 + r)) = 0$

Paso 2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$67416 - 6000 (1 \cdot 1 + 1 r + r (1 + r)) = 0$

Paso 2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$67416 - 6000 (1 \cdot 1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) = 0$

Paso 2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$67416 - 6000 (1 + 1 r + r \cdot 1 + r \cdot r) = 0$

Paso 2.1.3.1.2

Multiplica $r$ por $1$ .

$67416 - 6000 (1 + r + r \cdot 1 + r \cdot r) = 0$

Paso 2.1.3.1.3

Multiplica $r$ por $1$ .

$67416 - 6000 (1 + r + r + r \cdot r) = 0$

Paso 2.1.3.1.4

Multiplica $r$ por $r$ .

$67416 - 6000 (1 + r + r + r^{2}) = 0$

Paso 2.1.3.2

Suma $r$ y $r$ .

$67416 - 6000 (1 + 2 r + r^{2}) = 0$

Paso 2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$67416 - 6000 \cdot 1 - 6000 (2 r) - 6000 r^{2} = 0$

Paso 2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.1.5.1

Multiplica $- 6000$ por $1$ .

$67416 - 6000 - 6000 (2 r) - 6000 r^{2} = 0$

Paso 2.1.5.2

Multiplica $2$ por $- 6000$ .

$67416 - 6000 - 12000 r - 6000 r^{2} = 0$

Paso 2.2

Resta $6000$ de $67416$ .

$61416 - 12000 r - 6000 r^{2} = 0$

Paso 3

Factoriza $- 24$ de $61416 - 12000 r - 6000 r^{2}$ .

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Paso 3.1

Reordena la expresión.

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Paso 3.1.1

Mueve $61416$ .

$- 12000 r - 6000 r^{2} + 61416 = 0$

Paso 3.1.2

Reordena $- 12000 r$ y $- 6000 r^{2}$ .

$- 6000 r^{2} - 12000 r + 61416 = 0$

Paso 3.2

Factoriza $- 24$ de $- 6000 r^{2}$ .

$- 24 (250 r^{2}) - 12000 r + 61416 = 0$

Paso 3.3

Factoriza $- 24$ de $- 12000 r$ .

$- 24 (250 r^{2}) - 24 (500 r) + 61416 = 0$

Paso 3.4

Factoriza $- 24$ de $61416$ .

$- 24 (250 r^{2}) - 24 (500 r) - 24 \cdot - 2559 = 0$

Paso 3.5

Factoriza $- 24$ de $- 24 (250 r^{2}) - 24 (500 r)$ .

$- 24 (250 r^{2} + 500 r) - 24 \cdot - 2559 = 0$

Paso 3.6

Factoriza $- 24$ de $- 24 (250 r^{2} + 500 r) - 24 (- 2559)$ .

$- 24 (250 r^{2} + 500 r - 2559) = 0$

Paso 4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las raíces de $250 r^{2} + 500 r - 2559 = 0$

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Paso 4.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} = 0$

Paso 4.2

Sustituye los valores $a = 250$ , $b = 500$ y $c = - 2559$ en la fórmula cuadrática y resuelve $r$ .

$\frac{- 500 \pm \sqrt{500^{2} - 4 \cdot (250 \cdot - 2559)}}{2 \cdot 250} = 0$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1.1

Eleva $500$ a la potencia de $2$ .

$r = \frac{- 500 \pm \sqrt{250000 - 4 \cdot 250 \cdot - 2559}}{2 \cdot 250}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 250 \cdot - 2559$ .

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Paso 4.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $250$ .

$r = \frac{- 500 \pm \sqrt{250000 - 1000 \cdot - 2559}}{2 \cdot 250}$

Paso 4.3.1.2.2

Multiplica $- 1000$ por $- 2559$ .

$r = \frac{- 500 \pm \sqrt{250000 + 2559000}}{2 \cdot 250}$

Paso 4.3.1.3

Suma $250000$ y $2559000$ .

$r = \frac{- 500 \pm \sqrt{2809000}}{2 \cdot 250}$

Paso 4.3.1.4

Reescribe $2809000$ como $530^{2} \cdot 10$ .

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Paso 4.3.1.4.1

Factoriza $280900$ de $2809000$ .

$r = \frac{- 500 \pm \sqrt{280900 (10)}}{2 \cdot 250}$

Paso 4.3.1.4.2

Reescribe $280900$ como $530^{2}$ .

$r = \frac{- 500 \pm \sqrt{530^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 250}$

Paso 4.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$r = \frac{- 500 \pm 530 \sqrt{10}}{2 \cdot 250}$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $250$ .

$r = \frac{- 500 \pm 530 \sqrt{10}}{500}$

Paso 4.3.3

Simplifica $\frac{- 500 \pm 530 \sqrt{10}}{500}$ .

$r = \frac{- 50 \pm 53 \sqrt{10}}{50}$

Paso 4.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$r = - \frac{50 - 53 \sqrt{10}}{50}, - \frac{50 + 53 \sqrt{10}}{50}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$r = - \frac{50 - 53 \sqrt{10}}{50}, - \frac{50 + 53 \sqrt{10}}{50}$

Forma decimal:

$r = 2.35201431 \dots, - 4.35201431 \dots$